Uma comparação entre elementos de contorno contínuos e descontínuos na solução de problemas de Laplace
Nome: FILIPE LOPES CRUZEIRO
Data de publicação: 09/09/2024
Banca:
Nome |
Papel |
|---|---|
| ANDRÉ BULCÃO | Examinador Externo |
| CARLOS FRIEDRICH LOEFFLER NETO | Coorientador |
| LUCAS SILVEIRA CAMPOS | Examinador Externo |
| LUCIANO DE OLIVEIRA CASTRO LARA | Presidente |
Resumo: O método dos elementos de contorno (MEC) é uma técnica poderosa para a solução de problemas da mecânica do contínuo e, junto ao método dos elementos finitos e ao método das diferenças finitas, modificou totalmente o projeto em engenharia. Este método surgiu como uma alternativa entre os outros métodos numéricos, principalmente em problemas que demandam grande precisão, como problemas de concentração de tensões e problemas com domínio infinito.
A principal característica do método dos elementos de contorno é a integração apenas nas fronteiras do problema, ou seja, os elementos estão situados apenas no contorno. Em alguns casos, é necessário o posicionamento de pontos fonte no domínio, seja para a inserção de graus de liberdade, como em problemas relacionados à vibração de películas, seja para a obtenção de propriedades específicas naquele ponto, como uma fonte de calor. Contudo, em equações auto-adjuntas, como a equação de Laplace, não é necessário colocar pontos no domínio, discretizando-se apenas o contorno. Para esse tipo de problema, a qualidade da solução dependerá da forma como os elementos são construídos e da sua quantidade.
Na sua forma mais simples, o MEC possui um elemento que tem apenas um ponto fonte em seu centro, e as propriedades deste ponto são adotadas para todo o elemento. Outra formulação são os elementos lineares contínuos, que possuem dois pontos funcionais posicionados sobre os pontos geométricos, e esses pontos funcionais são compartilhados com os elementos vizinhos. Essa formulação evoluiu para a utilização de elementos de alta ordem, sendo bastante comum o uso de elementos quadráticos e cúbicos. Esses elementos possuem algumas deficiências, como a necessidade de tratamento especial nas quinas, além da dificuldade de gerar malhas para a técnica de subdomínio.
Esses problemas levaram à criação de um tipo de elemento chamado descontínuo. Esse tipo de elemento se caracteriza pela descontinuidade entre o elemento \(i\) e os outros elementos adjacentes, ou seja, não há compartilhamento de pontos funcionais entre os elementos. A utilização desse elemento é uma característica própria do MEC, não podendo ser aplicada nos outros métodos clássicos.
Este trabalho analisará a eficiência do método dos elementos de contorno descontínuo na solução da equação de Laplace, avaliando a qualidade e a ordem de convergência dessa formulação em relação à formulação contínua.
Palavras-chaves: Método dos elementos de contorno, Elementos descontínuos, Métodos numéricos.
